わちにんこ

数学科の大学4年生で数学以外にギターの練習を頑張っています.

正規分布の偶数次モーメントの求め方

正規分布の偶数次モーメントは公式で覚えておくと便利なので、その公式と導出を書いてみました.

X~N(0, \sigma) \Rightarrow E[X2k]=(2k-1)!! \sigma^{2k} (kは自然数)

証明


E[X^{2k}] \\\\
=\int_{-\infty}^{\infty} x^{2k}\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}exp(-\frac{x^2}{2\sigma^2})dx\\\\
=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\int_{-\infty}^{\infty}x^{2k} exp(-\frac{x^2}{2\sigma^2})dx\\\\
=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\int_{0}^{\infty}x^{2k} exp(-\frac{x^2}{2\sigma^2})dx　(\because非積分関数が偶関数)\\\\
=\frac{(2\sigma^2)^k}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{\infty} u^{k-\frac{1}{2}} e^{-u}du　(\because u=\frac{x^2}{2\sigma^2}と変数変換)\\\\
=\frac{(2\sigma^2)^k}{\sqrt{\pi}}\Gamma(k+\frac{1}{2})　(\becauseガンマ関数の定義から)\\\\
=\frac{(2\sigma^2)^k}{\sqrt{\pi}}\frac{(2k-1)!!}{2^{k}}\Gamma(\frac{1}{2})　(\because ガンマ関数の性質より)\\\\
=(2k-1)!!\sigma^{2k}

参考文献

1.ガンマ関数の計算に関しては以下のサイトを参考にした. https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%B3%E3%83%9E%E9%96%A2%E6%95%B0