わちにんこ

数学科の大学4年生で数学以外にギターの練習を頑張っています.

分布収束と確率収束の関係

この記事の内容

確率変数の分布収束について考えた時,X_n $\xrightarrow{L}$ Xが成り立つ時、Xを移項したような形のX_n - X　 $\xrightarrow{L}$ 0が成り立つのか気になったので、確率変数の収束の性質について書いてみました.また,分布収束の部分を確率収束に変えた時の性質も書きました。最後に分布収束と確率収束の関係について書いています。

命題1　X_n $\xrightarrow{L}$ X　 $\nRightarrow$ 　X_n - X　 $\xrightarrow{L}$ 0

証明

反例をあげれば良い。
X_n ~ N(0,1) , X~N(0,1)と仮定する.この時 , X_n  Xは明らかに成立し,仮定を満たす.
しかし,
Y_n := X_n-Xと定義しておくと正規分布の再生性から , Y_n ~ N(0,2)であり , Y_n  N(0,2)となり0に分布収束しない.

命題2　X_n-X $\xrightarrow{L}$ 0 $\Rightarrow$ X_n $\xrightarrow{L}$ X

証明

　
X_n-X  0  X_n であることから , XとX_nは漸近同値である.
漸近同値な分布は同じ分布に分布収束するため、X_n  Xである.

注意　命題2の証明中に漸近同値な分布は同じ分布に分布収束するという定理を用いたがその定理は必携統計的大標本論の定理6(b) にのっています。

命題3　X_n $\xrightarrow{p}$ X $\Leftrightarrow$ X_n - X $\xrightarrow{L}$ 0

証明

これは確率収束の定義から明らか.

以上の性質をまとめた関係図を載せてこの記事を終わりにする.

f:id:napton:20210113020622j:plain — 分布収束と確率収束の関係